题目内容
（本小题满分12分）
如图：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点.
(1) 求证：面MNP∥面A1C1B；(2) 求证：MO⊥面A1C1.
如图：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点.
(1) 求证：面MNP∥面A1C1B；(2) 求证：MO⊥面A1C1.
证明：（1） 连结D1C， MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.………………2分
又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.…………………………………………… 4分
而MN与MP相交，MN，MP
面MNP，A1B，
A1B面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.………………6分
证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1
M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO………………………………………………8分
连结BO和BM，在三角形BMO中，
经计算知：
∴OB2+MO2=MB2，
即BO⊥MO.而A1C1，BO
面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.
…………………………………………………………12分
法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,
∵AD⊥面ABB1A1,A1B面ABB1A1,∴AD⊥A1B.
又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,
∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分
又B1D面AB1D,∴A1B⊥B
1D.同理:BC1⊥B1D. 第20题答案图（2）
又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分
∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分
又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.…………………………………………… 4分
而MN与MP相交，MN，MP
面MNP，A1B， A1B
面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.………………6分证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1
M，又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO………………………………………………8分
连结BO和BM，在三角形BMO中，
|
∴OB2+MO2=MB2，即BO⊥MO.而A1C1，BO
面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.…………………………………………………………12分
法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,
∵AD⊥面ABB1A1,A1B
面ABB1A1,∴AD⊥A1B.又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,
∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分
又B1D
面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理:BC1⊥B1D. 第20题答案图（2）又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分
∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分
略
练习册系列答案
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的上底
，
，
，平面
平面
是边长为
的等边三角形。
；
的大小。
的体积。
满分12分
，BC=
，AA1=
⊥矩形
所在的平面，
分别是
、
的中点，
∥平面
；
；
，求证：平面
⊥平面
.
，BC＝4，
，AA1＝4，点D是AB的中点．
的余弦值．
的棱AP、AB上的点，且AD:DP=AE:EB=1:3.求证：DE//平面PBC