题目内容
(本小题满分14分)
已知直角梯形中(如图1),,为的中点,
将沿折起,使面面(如图2),点在线段上,.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在四棱锥的棱上是否存在一点,使得平面,若存在,求出点的位置,若不存在,请说明理由.
已知直角梯形中(如图1),,为的中点,
将沿折起,使面面(如图2),点在线段上,.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在四棱锥的棱上是否存在一点,使得平面,若存在,求出点的位置,若不存在,请说明理由.
(1)略
(2)
(3) 存在的中点,使得平面.
解:(1)依题意知:.
又面面,面面,面,
所以面. …………2分
又因为.
以为原点,建立如图所示的坐标系, …………3分
则. …………4分
由于,
所以,
即. …………5分
所以,.
所以. …………6分
(2)易知为平面的法向量. …………7分
设平面的法向量为,
则即,…………8分
令 则,即. …………9分
二面角的平面角为,则.…………10分
(3)方法一:存在的中点,使得:平面,证明如下:
连接,交于,取中点,连.
在△中,分别为中点,则. …………11分
在△中,分别为中点,则. …………12分
所以平面平面.
又平面,
所以平面. …………14分
方法二:假设在四棱锥的棱上存在一点,使得平面,不妨设:, …………11分
由,得. …………12分
由(2)知平面的法向量,由得. ……13分
故存在的中点,使得平面. …………14分
练习册系列答案
相关题目