题目内容

如图,在长方体中,,且.

(Ⅰ)求证:对任意,总有
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

(Ⅰ)证明略
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解:(Ⅰ)如图,以为坐标原点,分别以
所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
不妨设.
,,,
,,,
从而,
所以,即;能                   -----------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及得,
设平面的法向量为,则
,解方程组得
从而可取平面的法向量为
又取平面的法向量为,且设二面角P-AB1-B为
所以;           --------------------------------------------9分
(Ⅲ)假设存在实数满足条件,由题结合图形,只需满足向量分别与向量的所成角相同,即有
,解得,所以存在满足题意的实数,使得在平面上的射影平分.--------14分
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