Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），且过点（0，$\sqrt{2}$）．
（1）求此椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，使得∠AOB为锐角？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过联立焦点为F（2，0），且过点（0，$\sqrt{2}$）计算即得结论；
（2）假设存在满足条件的直线l的方程为y=k（x-2），并与椭圆方程联立，利用韦达定理代入解不等式$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}={2}^{2}}\\{0+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=6}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）结论：存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，使得∠AOB为锐角．
理由如下：
假设存在满足条件的直线l的方程为：y=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-2{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{k}^{2}$
=（1+k²）•$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$-2k²•$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+4k²
=$\frac{10{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$
＞0，
即10k²＞6，解得：k＜-$\frac{\sqrt{15}}{5}$或x＞$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．