Question

10．（1）若f（x）+f（$\frac{x-1}{x}$）=1+x，求f（x）；
（2）若2f（x）+f（1-x）=1+x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）利用换元法以及方程组求解函数的解析式．
（2）用1-x代替式中的x可得方程，和已知式子联立解方程组可得．

解答 解：（1）f（x）+f（$\frac{x-1}{x}$）=1+x，可得f（x）+f（1-$\frac{1}{x}$）=1+x…①，
用1-$\frac{1}{x}$换x可得：f（1-$\frac{1}{x}$）+f（$\frac{1-\frac{1}{x}-1}{1-\frac{1}{x}}$）=-$\frac{1}{x}$，即f（1-$\frac{1}{x}$）+f（$\frac{1}{1-x}$）=-$\frac{1}{x}$，…②，
利用$\frac{1}{1-x}$换f（x）+f（1-$\frac{1}{x}$）=1+x 中的x可得：f（$\frac{1}{1-x}$）+f（$1-\frac{1}{\frac{1}{1-x}}$）=1+$\frac{1}{1-x}$，即f（$\frac{1}{1-x}$）+f（x）=1+$\frac{1}{1-x}$…③，
①-②+③可得：2f（x）=1+x+$\frac{1}{x}$+1+$\frac{1}{1-x}$，
解得f（x）=1+$\frac{x}{2}$$+\frac{1}{2x}$+$\frac{1}{2-2x}$．
（2）∵2f（x）+f（1-x）=1+x，
∴用1-x代替式中的x可得2f（1-x）+f（x）=2-x，
两式联立消去f（1-x）可得3f（x）=3x，
所求函数的解析式为：f（x）=x．

点评 本题考查函数解析式的求解方法，涉及方程组的思想，属基础题．