Question

13．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，它的准线方程为y=$\frac{1}{4}$，抛物线上的点A的横坐标为1，B、C是抛物线上异于点A的两点．
（1）若直线AB与直线AC的斜率互为相反数，求直线BC的斜率；
（2）在（1）的条件下，求线段BC的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线的方程，再利用AB，AC斜率相加为0，即可求直线BC的斜率；
（2）在（1）的条件下，求出线段BC的中点P的坐标，即可求线段BC的中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，它的准线方程为y=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-x²，点A（1，-1）
设B（x₁，-x₁²），C（x₂，-x₂²），
∵AB，AC斜率相加为0，k_AB=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$=-x₁-1，k_AC=-x₂-1，
∴-x₁-1-x₂-1=0，
∴x₁+x₂=-2，
∴k_BC=-（x₁+x₂）=2；
∵AB，AC斜率相加为0；
（2）设BC方程为y=2x+b，
联立抛物线与直线方程得x²+2x+b=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=b，
∴y₁+y₂=-4+2b，
∴线段BC的中点P（-1，-2+b），
∴P的轨迹方程式为x+1=0．

点评 本题考查抛物线、直线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．