题目内容
【题目】如图2,在三棱锥A-BCD中,AB=CD=4, AC=BC=AD=BD=3.
(I)证明:ABCD;
(II) E在线段BC上,BE=2EC, F是线段AC的中点,求平面ADE与平面BFD所成锐二面角的余弦值
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)取中点
,连接
,
,易证
,
,进而得
,从而得证;
(Ⅱ)过作
交
的延长线于点
,
,由(Ⅰ)得
,所以AP⊥平面BDC,以
为原点,
为
轴,
为
轴,过
作
的平行线为
轴,建立空间直角坐标系,分别求得面
和面
的法向量,进而利用向量求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)
证明:如图2,取中点
,连接
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(Ⅱ)解:过作
交
的延长线于点
,
,由(Ⅰ)得
,所以AP⊥平面BDC,以
为原点,
为
轴,
为
轴,过
作
的平行线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
解得
,
设平面的法向量为
,
解得
,
设平面ADE与平面BFD所成的二面角为,
则.
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