题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点
不在
轴上，直线
、
的斜率之积
．
（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；
（Ⅱ）经过点
的两直线与动点的轨迹分别相交于
、
两点。是否存在常数
，使得任意满足
的直线
恒过线段
的中点？请说明理由．
【答案】(1)
（
）(2)见解析
【解析】【试题分析】(I)
（）,将已知代入
化简的
的轨迹方程.(2)猜想
时，直线
恒过线段
的中点.设出直线
的方程,代入椭圆方程求得
点坐标,同理写出直线
的方程,代入椭圆方程得到
点的坐标.由此证得直线恒过线段的中点.
【试题解析】
（Ⅰ）设（），则
，
，
由得，
，
化简整理得，动点的轨迹方程为（）
（Ⅱ）动点的轨迹与
轴的两个交点为
、
，
猜想时，直线恒过线段的中点
记
，则直线：
，
解
得
当
时，
，则直线：
，
同理可得
线段的中点
是线段的中点，所以直线恒过线段的中点.
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【题目】某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权．集团在该地区随机初步勘探了部分几口井．取得了地质资料，进入全面勘探时期后．集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高．如果新设计的井位与原有井位重合或接近．便利用旧并的地质资料．不必打这日新并，以节约勘探费与用，勘探初期数据资料见如表：
井号 |
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坐标 |
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钻探深度 |
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出油量 |
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（参考公式和计算结果：
，
，
，
）．
（
）
号旧井位置线性分布，借助前
组数据求得回归直线方程为
，求
的值．
（
）现准备勘探新井
，若通过，
，，
号井计算出的
，
的值（，精确到
）相比于（）中的
，
，值之差不超过
．则使用位置最接近的已有旧井
．否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（）设出油量与勘探深度的比值
不低于
的勘探井称为优质井，那么在原有
口井中任意勘探
口井，求勘探优质井数
的分布列与数学期望．
