Question

【题目】已知函数，，是函数的导函数．

（1）若，求证：对任意，；

（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）当时，，只需证明的最小值大于等于零即可；

（2）法一：函数有两个极值点，即在上有两个不等根，转化为在上有两个不等根，注意到和函数互为反函数，将所求问题进一步转化为和函数有两个不同的交点，构造函数，利用导数解决即可.法二：有两个变号零点，分，两种情况讨论，在讨论时，注意二次求导，结合极限即可得到答案.

（1）当时，，，

在上单调递增，

，

∴当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴，证毕．

（2）法一：函数有两个极值点，

即有两个变号零点，

即在上有两个不等根，

即在上有两个不等根，

即函数和的图象有两个不同的交点．

∵函数和函数互为反函数，

∴只需函数和函数有两个不同的交点，

即方程有两个不等正根，

令，，

∴当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

∴，

又∵时，；时，，

∴．

法二：函数有两个极值点，即有两个变号零点，

当时，，由（1），则在

上是增函数，无极值点，

当时，令，则，因为，

，且在上是增函数，存在，使得，

当时，，当时，，所以在上单调递

减，在上单调递增，则，由，

得，则，令，

，在上是减函数，所以，

即，又时，；时，，故在

上有两个变号的零点，从而函数有两个极值点，所以.

【点晴】

本题考查利用导数研究函数的极值、证明不等式的问题，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道中档题.