Question

已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．

Answer 1

（1）在上递减，在上递增；（2）；（3）证明详见解析．

试题分析：（1）先求函数的导函数，然后分别求解不等式、，即可求出函数的单调增、减区间，注意函数的定义域；（2）先根据函数在取得极值，得到，进而求出的值，进而采用分离参数法得到，该不等式恒成立，进一步转化为，利用导数与最值的关系求出函数的最小值即可；（3）先将要证明的问题进行等价转化，进而构造函数，转化为证明该函数在单调递增，根据函数的单调性与导数的关系进行证明即可．
试题解析：（1）当时，
得，得
∴在上递减，在上递增
（2）∵函数在处取得极值，∴
∴
令，可得在上递减，在上递增
∴，即 
（3）证明：
令，则只要证明在上单调递增
又∵
显然函数在上单调递增
∴，即
∴在上单调递增，即
∴当时，有．