题目内容
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x,a∈R.
(1)当
时,求函数y=f(x)的极值;
(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
(1)当

(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
(1)在x=1处取到极小值为
,在x=0处取到极大值为0;(2)
.


试题分析:(1)将







试题解析:(1)当


则


列表如下:
x | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+![]() |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
∴函数f(x)在(-1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且f(0)=0,

∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为

在x=0处取到极大值为0; 5分
(2)由题意

(1)当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b); 7分
(2)当a>0时,令


(ⅰ)当






令


故恒有


(ⅱ)当








∴此时实数a的取值范围是

(ⅲ)当


显然符合题意; 13分
综上,实数a的取值范围是


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