题目内容

14.等差数列{an}中的a1、a5是函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-5{x^2}$+9x-1的极值点,且公差d>0,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2,(n∈N*).
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn

分析 (1)f′(x)=x2-10x+9=(x-1)(x-9),令f′(x)=0,可得:1,9是函数f(x)的极值点.由于等差数列{an}中的公差d>0,可得a1=1,a5=9.利用等差数列的通项公式可得an=2n-1.由Sn=2bn-2,利用递推式与等比数列的通项公式即可得出.
(2)an•bn=(2n-1)•2n.利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(1)f′(x)=x2-10x+9=(x-1)(x-9),令f′(x)=0,解得x=1,9,可得:1,9是函数f(x)的极值点.
∵等差数列{an}中的公差d>0,∴a1=1,a5=9.∴9=1+4d,解得d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∵Sn=2bn-2,(n∈N*).∴当n=1时,b1=2b1-2,解得b1=2,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2),化为bn=2bn-1
∴数列{bn}是等比数列,首项为2,公比为2,
∴bn=2n
(2)an•bn=(2n-1)•2n
∴数列{an•bn}的前n项和Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n
2Tn=22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1
∴-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1=$\frac{2({2}^{n+1}-1)}{2-1}$-4-(2n-1)×2n+1
化为Tn=(2n-3)×2n+1+6.

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、利用导数研究函数的极值,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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