Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+1（n∈N^*），且a₁=1，则通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2}•（\frac{3}{2}）^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=S_n+1-S_n，可得该数列从第2项起的公比为$\frac{3}{2}$，进而可得结论．

解答 解：∵S_n=2a_n+1（n∈N^*），
∴S_n+1=2a_n+2，
两式相减得：a_n+1=2a_n+2-2a_n+1，
整理得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a₁+a₂=2a₂，即a₂=$\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，\;n=1\\ \frac{1}{2}•{（{\frac{3}{2}}）^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2}•（\frac{3}{2}）^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．