Question

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），求过椭圆的右焦点，且与直线$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$为参数）平行的直线l的普通方程．

Answer 1

分析 利用cos²φ+sin²φ=1可把椭圆C方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），化为普通方程．可得$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．直线$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$为参数）化为普通方程：x-2y+2=0，可设与上述平行的直线l的普通方程为x-2y+m=0，把右焦点坐标代入即可得出．

解答 解：椭圆C方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
∴$c=\sqrt{25-9}$=4．
可得椭圆的右焦点为F（4，0），
直线$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$为参数）化为普通方程：x-2y+2=0，
可设与上述平行的直线l的普通方程为x-2y+m=0．
把F代入可得：4-0+m=0，解得m=-4．
于是所求直线方程为x-2y+4=0．

点评 本题考查了椭圆的参数方程化为普通方程、椭圆的标准方程及其性质、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．