Question

【题目】已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

①当直线斜率不存在时，易求得；②当直线斜率存在时，设其方程为，利用直线与圆有交点可求得；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据和可整理得到，，，满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得；当时，知；当时，可将表示为关于的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.

设，

①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，，

，，，，

满足，此时；

②当直线斜率存在时，设其方程为：，

与圆有两个不同交点，，即，

由得：，

设，，

则，，

，

.

，，解得：，

由得：，

整理得：，

，整理得：，

当时，；

当时，，代入式得：，

解得：，

，

，，

当时，单调递增，

在上单调递减，

，

综上所述：弦中点的横坐标的取值范围为.

故答案为：.