题目内容
【题目】已知在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,
是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.
(Ⅰ)求证:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角为
,若存在,求线段
的长度;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,见解析
【解析】
(Ⅰ)正三角形中
,由
平面
得到
,所以得到
面
;(Ⅱ)以
点为原点建立空间直角坐标系,根据平面
的法向量,和平面
的法向量,从而得到平面
与平面
所成锐二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)线段
上存在满足题意的点
,直线
与平面
法向量的夹角为
,设
,
,利用向量的夹角公式,得到关于
的方程,证明方程无解,从而得到不存在满足要求的点
.
(Ⅰ)证明:因为△是正三角形,
是
的中点,
所以 .
又因为平面
,
平面
,
所以.
,
平面
,
所以面
.
(Ⅱ)如图,以点为原点分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
设平面的法向量为
所以,即
令,则
,
又平面的法向量
,
设平面与平面
所成锐二面角为
,
所以.
所以平面与平面
所成锐二面角为
.
(Ⅲ)假设线段上存在点
,
使得直线与平面
所成角为
,
即直线与平面
法向量
所成的角为
,
设,
,
,
所以
所以,
整理得,
,方程无解,
所以,不存在这样的点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
积极参加 班级工作 | 不太主动参加 班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系?并说明理由.(参考下表)
P(K2 ≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)