题目内容
【题目】如图所示,在三棱锥中,
底面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为
,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由余弦定理求出BC,因为为
的中点,得BD=CD,因为
,平方求出AD,利用勾股定理得AB⊥AD,结合PA⊥AD,得AD⊥平面PAB,从而AD⊥PB得证.
(2)分别以直线AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PA=a,求出平面PBC的法向量,平面PAB的法向量,利用向量法求出a,然后求解VP﹣ABC=×S△ABC×PA即可.
(1)在中,由余弦定理得
,则
.
因为为
的中点,则
.
因为,则
,所以
.
因为,则
.
因为底面
,则
,所以
平面
,从而
.
(2)分别以直线,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设,则点
,
,
,所以
,
.
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,则
,
,所以
.
因为为平面
的法向量,
则,即
.
所以,解得
,所以
.
所以.
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