Question

【题目】已知函数，其中．

（1）若时，函数有两个极值点，求的取值范围，并证明；

（2）若时，不等式对于任意总成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；证明详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据函数有两个极值点可得在上有两个不同的零点，也就是方程有两个不等实根，用判别式可求实数的取值范围，再利用韦达定理用来表示，结合的范围可证.

（2）对于任意总成立等价于对于总成立，设，利用导数可求，从而可求的取值范围.

解：（1），，其定义域为.

由已知，在上有两个零点，

即方程有两个不等实根，

，结合得，.

由二次方程根与系数的关系知，，

.

又由于，故，

故.

（2）当时，，

注意到时总成立，得.

又不等式等价于，即对于总成立.

设，则，

设，则，

当时，是减函数；

当时，是增函数.

所以，故在是增函数，

，故，结合，所以.