题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的短轴长为2,倾斜角为
的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且点M与坐标原点O连线的斜率为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若,P是以AB为直径的圆上的任意一点,求证:
.
【答案】(1);(2)见证明
【解析】
(1)由已知得,利用点差法和题设得到关于
,
的表达式,从而得到结果;
(2)设直线,联立椭圆方程得到关于x的一元二次方程,根据弦长公式和判别式可求得
,再求出
,利用几何关系
即可求得结果.
(1)由已知得,
设,
,由
,
两式相减得,
由已知条件知:,
,
∴,即
,
故椭圆C的标准方程为.
(2)设,联立椭圆方程得
,
则,
∴,且
,
.
∵,化简得
.
又∵M是弦AB的中点,
∴,故
,即
.
∵,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标.为加强心理健康教育工作的开展,不断提高学生的心理素质,九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课,学分为2分.学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价,获得“合格”评价的学生给予50分的平时分,获得“不合格”评价的学生给予30分的平时分,另外还将进行一次测验.学生将以“平时分×40%+测验分×80%”作为“最终得分”,“最终得分”不少于60分者获得学分.
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下:
测验分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
平时分50分人数 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平时分30分人数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(1)根据表中数据完成如下2×2列联表,并分析是否有95%的把握认为这些学生“测验分是否达到60分”与“平时分”有关联?
选修人数 | 测验分 达到60分 | 测验分 未达到60分 | 合计 |
平时分50分 | |||
平时分30分 | |||
合计 |
(2)用样本估计总体,若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取5人,设获得学分人数为,求
的期望.
附:,其中
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879/p> | 10.828 |