Question

【题目】已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,且|M1M2|=8.

（1）求p的值;

（2）设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另一点M3,直线M1M3交直线y=于点B,求的值.

Answer 1

【答案】（1）4. （2）20

【解析】

（1）联立直线方程与抛物线方程消掉得到的二次方程，设，根据韦达定理及弦长公式可得一方程，解出即得值.
（2）由（1）知 得，设, ，由三点共线得，，同理由三点共线，结合韦达定理可得值，由此可求得的值.

（1）由整理得x2-4px+4p=0,

设M1(x1,y1),M2(x2,y2),则

∵|M1M2|=8,

∴=8,

即=8.

∴p2-p-12=0,解得p=4或p=-3(舍去),且p=4满足Δ>0,

∴p=4.

（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y,

且x1+x2=16,x1x2=16,M1,M2,设M3,A(t,2),B(a,2),

由A,M2,M3三点共线得=,

∴=,即+x2x3-t(x2+x3)=-16,

整理得x2x3-t(x2+x3)=-16,①

同理由B,M3,M1三点共线,可得x1x3-a(x1+x3)=-16,②

②式两边同乘x2,得x1x2x3-a(x1x2+x2x3)=-16x2,

即16x3-a(16+x2x3)=-16x2,③

由①得x2x3=t(x2+x3)-16,

代入③得16x3-16a-at(x2+x3)+16a=-16x2,

即16(x2+x3)=at(x2+x3),

∴at=16.

∴=at+4=20.