题目内容
【题目】已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax2﹣2bx﹣a+b,x∈[0,1].
(1)当a=b=2时,求函数f(x)的最大值;
(2)证明:函数f(x)的最大值|2a﹣b|+a;
(3)证明:f(x)+|2a﹣b|+a≥0.
【答案】
(1)解:当a=b=2时,f(x)=8x2﹣4x,x∈[0,1].
对称轴为x= ,f(0)=0,f(1)=4,
可得f(x)的最大值为4;
(2)证明:f(x)的对称轴为x= ,
当 >1时,区间[0,1]为减区间,
可得f(x)的最大值为f(0)=b﹣a,
由b>4a>2a,可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a,
则f(0)=|2a﹣b|+a;
当 <0时,区间[0,1]为增区间,
可得最大值为f(1)=3a﹣b,
由b<0,可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f(1);
当0≤ ≤1时,区间[0,
]为减区间,[
,1]为增区间,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得最大值为f(1)=3a﹣b=|2a﹣b|+a;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得最大值为f(0)=b﹣a=|2a﹣b|+a.
综上可得函数f(x)的最大值|2a﹣b|+a;
(3)证明:要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0恒成立,
只需证f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,
设f(x)的最小值为m,最大值为M,由(Ⅱ)得M=|2a﹣b|+a,
由f(x)的对称轴为x= ,
当 >1时,区间[0,1]为减区间,可得m=f(1)=3a﹣b,
则M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a>0;
当 <0时,区间[0,1]为增区间,可得m=f(0)=b﹣a,
M=f(1)=3a﹣b,则M+m=2a>0;
当0≤ ≤1时,区间[0,
]为减区间,[
,1]为增区间,
可得m=f( )=
,
若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得M=f(1)=3a﹣b,
M+m= ≥
=a>0;
若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得M=f(0)=b﹣a,
M+m= =
,
由于2a<b≤4a,可得M+m∈(a,2a],即为M+m>0.
综上可得M+m>0恒成立,
即有f(x)+|2a﹣b|+a≥0
【解析】(1)求出当a=b=2时,f(x)的解析式,求出对称轴,求得端点的函数值,可得f(x)的最大值;(2)求出对称轴,讨论区间和对称轴的关系,结合单调性,可得最大值;(3)要证f(x)+|2a﹣b|+a≥0恒成立,只需证f(x)min+|2a﹣b|+a≥0,设f(x)的最小值为m,最大值为M,由(Ⅱ)得M=|2a﹣b|+a,求出对称轴,讨论对称轴和区间[0,1]的关系,可得最值,即可证明M+m>0.
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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