Question

19．已知函数f（x）=2x³-3ax²+1，且x=1为函数f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）≤2x²-3x²-x+e^x．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出f′（x），根据题意和极值点的必要条件列出方程，求出a的值并进行验证；
（2）由（1）化简f（x）≤2x²-3x²-x+e^x，再构造函数g（x）并求出导数，再求出函数的单调区间和最小值，即可证明结论成立．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=6x²-6ax，
∵x=1为函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=6-6a=0，解得a=1，
经验证a=1符合条件，则a=1；
证明：（2）由（1）得，f（x）=2x³-3x²+1，
要证f（x）≤2x²-3x²-x+e^x，
只需证e^x-x-1≥0成立；
设g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
∴当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增；
则函数g（x）在x=1处取到极小值也是最小值，g（0）=0，
∴g（x）≥0成立，
故f（x）≤2x²-3x²-x+e^x成立．

点评 本题考查了函数的导数与函数的单调性、极值、最值的关系，以及构造函数法证明不等式，属于中档题．