Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．
（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC
∵△PAB为边长为2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，
又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC?平面POC
∴AB⊥OC
以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（-2，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），
∵PD=3PE，
∴E（$-\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
则$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CE}$=（$-\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
则|$\overrightarrow{CE}$|=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
则cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{-\frac{4}{3}}{2×\frac{2\sqrt{7}}{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
即异面直线AB与CE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（2）设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=1，x=$-\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$-\sqrt{3}$，1，1），
平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查异面直线所成角的求解，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．