题目内容
7.设函数f(x)=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$的所有正的零点从小到大依次为x1,x2,x3,…,设α=x1+x2+x3+…+x2015,则cosα的值是( )A. | 0 | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | 1 |
分析 由条件可得sinx+cosx=-1,且1+cosx≠0,求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈z;从而求得α=x1+x2+x3+…+x2015的值;再利用诱导公式求得cosα的值.
解答 解:令函数f(x)=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$=0,求得sinx+cosx=-1,且1+cosx≠0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx=0}\\{sinx=-1}\end{array}\right.$,∴x=2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈z.
由题意可得x1 =$\frac{3π}{2}$,x2 =2π+$\frac{3π}{2}$,x3 =4π+$\frac{3π}{2}$,…,x2015 =2014×2π+$\frac{3π}{2}$,
∴α=x1+x2+x3+…+x2015=(1+2+3+…+2014)2π+2015×$\frac{3π}{2}$,
∴cosα=cos(2015×$\frac{3π}{2}$)=cos(3022π+$\frac{π}{2}$)=cos$\frac{π}{2}$=0,
故选:A.
点评 本题主要考查函数零点的定义,同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.
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