题目内容
7．设函数f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$的所有正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…，设α=x1+x2+x3+…+x2015，则cosα的值是（ ）| A． | 0 | B． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | 1 |
分析 由条件可得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z；从而求得α=x1+x2+x3+…+x2015的值；再利用诱导公式求得cosα的值．
解答 解：令函数f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$=0，求得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx=0}\\{sinx=-1}\end{array}\right.$，∴x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z．
由题意可得x1 =$\frac{3π}{2}$，x2 =2π+$\frac{3π}{2}$，x3 =4π+$\frac{3π}{2}$，…，x2015 =2014×2π+$\frac{3π}{2}$，
∴α=x1+x2+x3+…+x2015=（1+2+3+…+2014）2π+2015×$\frac{3π}{2}$，
∴cosα=cos（2015×$\frac{3π}{2}$）=cos（3022π+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
故选：A．
点评 本题主要考查函数零点的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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