Question

11．设椭圆C的中心在原点，左，右焦点分别为F₁，F₂，过F1垂直x轴的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且△F₂AB的周长为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆D：x²+y²=4上任一点P作椭圆C的两条切线m，n，直线m，n与圆D的另一交点分别为M，N．
①证明：m⊥n；
②求△MNP面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞1），把x=-c代入椭圆的方程可得：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由△F₂AB的周长为4$\sqrt{3}$，可得4a=4$\sqrt{3}$，解得a，b即可得出．
（2）①设P（（x₀，y₀），则${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4．当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆的方程可得：（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，△=0，化为（${x}_{0}^{2}$-3）k²-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-1=0．当${x}_{0}^{2}$-3≠0时，k₁k₂=-1，可得m⊥n．当${x}_{0}^{2}$-3=0时，也有m⊥n．即可证明．
②由①可得：m⊥n，可得MN为⊙D的直径，因此MN过圆心即原点O．当OP⊥MN时，△MNP面积取得最大值．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞1），
把x=-c代入椭圆的方程可得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵△F₂AB的周长为4$\sqrt{3}$，∴4a=4$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）①设P（（x₀，y₀），则${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：y-y₀=k（x-x₀），
代入椭圆的方程可得：（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，
△=36k²$（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-12（1+3k²）[$（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-1]=0，
化为（${x}_{0}^{2}$-3）k²-2kx₀y₀+${y}_{0}^{2}$-1=0．
当${x}_{0}^{2}$-3≠0时，k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-1}{{x}_{0}^{2}-3}$=$\frac{4-{x}_{0}^{2}-1}{{x}_{0}^{2}-3}$=-1，∴m⊥n．
当${x}_{0}^{2}$-3=0时，也有m⊥n．
综上可得：m⊥n．
②由①可得：m⊥n，∴MN为⊙D的直径，因此MN过圆心即原点O．
∴当OP⊥MN时，△MNP面积取得最大值$\frac{1}{2}×2×4$=4．

点评 本题考查了椭圆及其圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．