题目内容
10.小王大学毕业后进行自主创业,经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元,每生产x万件产品,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=$\frac{{x}^{2}}{3}$+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+$\frac{100}{x}$-38(万元),每件产品售价5元,通过市场分析,小王当年生产的产品能在当年全部售完,(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x万件的函数关系式
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
分析 (1)根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本,分0<x<8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式;
(2)当0<x<8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值,当x≥8时,利用基本不等式来求L的最大值,最后综合即可.
解答 解:(1)因为每件产品售价为5元,则x(万件)商品销售收入为5x万元,
依题意得:
当0<x<8时,L(x)=5x-($\frac{1}{3}$x2+x)-3=-$\frac{1}{3}$x2+4x-3,
当x≥8时,L(x)=5x-(6x+$\frac{100}{x}$-38)-3=35-(x+$\frac{100}{x}$),
∴L(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+4x-3,}&{0<x<8}\\{35-(x+\frac{100}{x}),}&{x≥8}\end{array}\right.$;
(2)当0<x<8时,L(x)=-$\frac{1}{3}$(x-6)2+9,
此时,当x=6时L(x)取得最大值9;
当x≥8时,L(x)=35-(x+$\frac{100}{x}$)
≤35-2$\sqrt{x•\frac{100}{x}}$=15(当且仅当x=$\frac{100}{x}$即x=10时取等号),
此时,当x=10时L(x)取得最大值15;
∵9<15,
∴年产量为10万件时,这一商品的生产中所获利润最大,最大利润是15万元.
点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力,以及运用基本不等式求最值的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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