题目内容
【题目】已知函数,函数
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若不等式在
上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若,求证不等式
.
【答案】(1) g(x)的增区间,减区间
;(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据导数的正负情况研究函数的单调性;(2)恒成立求参转化为
恒成立,求到研究函数单调性和最值;(3)转化为
在
上恒成立。通过求导研究函数单调性,求得函数最值。
(Ⅰ)g(x)的定义域为 ,
,
当
时,
在
上恒成立
所以g(x)的增区间,无减区间当
时,令
得
令得
所以g(x)的增区间
,减区间
.
(Ⅱ) 即
在
上恒成立
设,考虑到
,在
上为增函数,
,
当
时,
,
在
上为增函数,
恒成立
当时,
,
在
上为增函数
,在
上,
,
递减,
,这时不合题意, 综上所述,
(Ⅲ)要证明在上,
只需证明 ,由(Ⅱ)当a =0时,在
上,
恒成立, 再令
, 在
上,
,
递增,所以
即
,相加,得
,所以原不等式成立.
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