Question

【题目】设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若对任意实数x∈[5，9]，f（x）≤ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|≤2， ∴当x＜3时，3﹣x+4﹣x≤2，
解得：x≥ ，又x＜3，∴ ≤x＜3；
当3≤x≤4时，x﹣3+4﹣x≤2，即1≤2恒成立，∴3≤x≤4；
当x＞4时，x﹣3+x﹣4≤2，解得：x≤ ，又x＞4，∴4＜x≤ ；
综上所述， ≤x≤ ，即原不等式的解集为{x| ≤x≤ }．
（Ⅱ）∵x∈[5，9]，∴f（x）≤ax﹣1恒成立2x﹣7≤ax﹣1（5≤x≤9）恒成立a≥ =2﹣ （5≤x≤9）恒成立，
∴a≥ ．
∵g（x）=2﹣ 在区间[5，9]上单调递增，
∴g（x）max=g（9）=2﹣ = ．
∴a≥ ．
【解析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得f（x）≤ax﹣1恒成立2x﹣7≤ax﹣1（5≤x≤9）恒成立a≥ =2﹣ （5≤x≤9）恒成立，构造函数g（x）=2﹣ ，利用其单调性可求得它的最大值，从而可得实数a的取值范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．