题目内容
过抛物线
的焦点F作斜率分别为
的两条不同的直线
，且
，
相交于点A，B，
相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为
。
（I）若
，证明；
；
（II）若点M到直线的距离的最小值为
，求抛物线E的方程。
的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若
，证明；；（II）若点M到直线
的距离的最小值为，求抛物线E的方程。（I）见解析（II）
（1）依题意，抛物线E的交点为
，直线
的方程为
，
由
得
，设A、B两点的坐标分别为
，则
是上述方程的两个实数根，从而
，所以点M的坐标为
，
，同理可得N的坐标为
，
，于是
，由题设，
，所以
，故
；
（2）由抛物线的定义得
所以
从而圆M的半径
，圆M的方程为
化简得
，同理可得圆N的方程为
，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为
，又
，则直线l的方程为
，因为
，所以点M到直线l的距离
，故当
时，
取最小值
. 由题设，
，所以
，故所求抛物线E的方程为
，直线的方程为，由
得，设A、B两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，从而，所以点M的坐标为，，同理可得N的坐标为，，于是，由题设，，所以，故；（2）由抛物线的定义得
所以从而圆M的半径，圆M的方程为化简得
，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值. 由题设，，所以，故所求抛物线E的方程为
练习册系列答案
相关题目
交于A，B两点，则弦长|AB|= .
的边长是
，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
)的距离等于它到定直线
的距离.
分别交曲线C于A、B两点，且
⊥
：
(p＞0)的焦点与双曲线
：
的右焦点的连线交
。若
( )
．过点P且与抛物线E交于A（xl，y1）、B（ x2，y2）两点，直线
过点P且与抛物线E交于C（x3， y3）、D（x4，y4）两点．过点P作x轴的垂线，与线段AC和BD分别交于点M、N．
上的两点
、
到焦点的距离之和是
，则线段
的中点到
轴的距离是 ．
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，过弦
中点
作准线
的垂线，垂足为
，则
的最大值为_________.
是抛物线
上的动点，
是抛物线的焦点，若点
，则
的最小值是 .