题目内容
【题目】如图,矩形所在的平面与直角梯形
所在的平面成
的二面角,
,
,
,
,
,
.
(1)求证:面
;
(2)在线段上求一点
,使锐二面角
的余弦值为
.
【答案】(1)见解析;(2)为线段
的中点.
【解析】
(1)利用面面平行的判定定理证明出平面平面
,再利用平面与平面平行的性质得出
平面
;
(2)由,
,由二面角的定义得出
,证明出平面
平面
,过点
在平面
内作
,可证明出
平面
,以点
为坐标原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴建立空间直角坐标系
,设点
的坐标为
,利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为
求出
的值,由此确定点
的位置.
(1)在矩形中,
,又
平面
,
平面
,
平面
,同理可证
平面
,
,
、
平面
,
平面
平面
,
平面
,
平面
;
(2)在矩形中,
,又
,则矩形
所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为
,即
.
又,
平面
,
作于
,
平面
,
,
又,
、
平面
,
平面
.
作于
,
,
,
,
,
,
,
.
以为原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴如图建立空间直角坐标系
,
则、
,设
.
则,
,
设平面的一个法向量为
,则
,即
,取
,则
,
,则平面
的一个法向量为
.
.又平面的一个法向量为
,
,
解得或
(舍去).
此时,,
即所求点
为线段
的中点.

【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
月收入(单位百元) | ||||||
频数 | ||||||
赞成人数 |
(1)由以上统计数据填下面列联表,并问是否有
的把握认为“月收入以
元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入不低于 | 月收入低于 | 合计 | |
赞成 |
|
| ______________ |
不赞成 |
|
| ______________ |
合计 | ______________ | ______________ | ______________ |
(2)若对在、
的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的
人中不赞成“楼市限购令”的人数为
,求随机变量
的分布列及数学期望.
参考公式:,其中
.
参考值表:
|