Question

8．设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）．
（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=-$\frac{1}{2}$相切，求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值；
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数f′（x），由条件可得f（1）=-$\frac{1}{2}$且f′（1）=0，列出方程，解出a，b即可；
（2）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx-x对所有的a∈[1，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，则m≤h（a）_min．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
又函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．   
f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=-$\frac{（x-1）（x+1）}{x}$，
当x∈[$\frac{1}{e}$，1），f′（x）＜0，f（x）递增，
当x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）递减．
即有f（x）的最大值为f（1）=-$\frac{1}{2}$；
（2）当b=0时，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，
即m≤alnx-x对所有的a∈[1，$\frac{3}{2}$]，x∈[1，e²]都成立，
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，
∴m≤h（a）_min．
∵x∈[1，e²]，∴lnx≥0，
∴h（a）在[1，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴h（a）_min=h（1）=lnx-x，
∴m≤lnx-x对所有的x∈（1，e²]都成立．
由y=lnx-x（1＜x≤e²）的导数为y′=$\frac{1}{x}$-1＜0，
则函数y=lnx-x（1＜x≤e²）递减，
∵1＜x≤e²，∴lnx-x≥2-e²，
则m≤2-e²．
则实数m的取值范围为（-∞，2-e²]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用单调性，是一道中档题．