题目内容
【题目】在一次数学竞赛中，某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X，对集合X的子集Y，若可以将这些人两两分组，且每组中两名选手均是朋友关系，则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组，且对于任意选手
，若A、B不是朋友关系，则
可两两分组，且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手
，若a、b为朋友关系，b、c为朋友关系，则a、c也为朋友关系
【答案】见解析
【解析】
考虑一个图G，顶点由集合X组成，若X中两人认识，则将这两人相连，否则不相连若一个图中的点可以两两分组，且每组中两个点均相连，则称这种分组为图G的一个“完美匹配”（可以看成是图G的一个子图）.于是，题目的条件变成了图G不存在完美匹配，且若x、y不相连，则G＋xy（表示把这个图G的xy也相连）存在一个完美匹配，且没有一个点与所有点均相连.
用反证法.
若存在a、b、c使得a、b认识，b、c认识，但a、c不认识，由于没有人认识其他所有人，故存在
，使得b、d不认识.
由假设可得G＋ac有一个完美匹配，记为
；G＋bd也有一个完美匹配记为
.
考虑与的对称差
.
则容易得到S是一些互不相交的圈，且每个圈均由偶数个点组成，设ac属于圈
，bd属于圈
.
分两种情形讨论
若
，则在圈外的点按照的分组方式分组，在圈中按照的分组方式即可得到原图G的一个完美匹配，即得矛盾.
若
，则这个圈从b出发沿边bd开始，不妨设首先连到点a，即b到a的路径（首先经过边bd）为P，于是，P＋ab为一个圈，其中，有一半的边（间隔地）属于对P＋ab这个圈外的点按的方式分组，而对P＋ab按ab及的方式分组即可得到原图G的一个完美匹配，即得矛盾.
【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数
(万人)与餐厅所用原材料数量
(袋)，得到如下统计表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
（1）根据所给5组数据，求出
关于
的线性回归方程
.
（2）已知购买原材料的费用
(元)与数量
(袋)的关系为
，
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润
销售收入
原材料费用).
参考公式： 
， 
.
参考数据： 
， 
， 
.
【题目】编号分别为
的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下：
运动员编号 |
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得分 | 5 | 10 | 12 | 16 | 8 | 21 | 27 | 15 | 6 | 22 | 18 | 29 |
（1）完成如下的频率分布表：
得分区间 | 频数 | 频率 |
| 3 |
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合计 |
（2）从得分在区间
内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和大于25的概率.
