Question

【题目】已知（m，n为常数），在处的切线方程为.

（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；

（Ⅱ）若任意，使得对任意上恒有成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若有两个不同的零点，求证： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，x∈（0，+∞）；(Ⅱ) ；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意利用导函数研究切线方程可得，x∈（0，+∞）；

(Ⅱ)结合（Ⅰ）的结论，f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需对恒成立，构造函数，结合新函数的性质可得a的取值范围为。

试题解析：

（Ⅰ），由条件可得及在处的切线方程为，得，所以，x∈（0，+∞）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对恒成立，令，易得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，而 ∴∴，即a的取值范围为。

（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，两式相加相减后作商得： ，要证，即证明lnx1+lnx2＞2，即证： ，需证明成立，令，于是要证明： ，构造函数， ，故在（1，+∞）上是增函数，∴，∴，故原不等式成立.