题目内容
【题目】已知椭圆(
)的左焦点为
,点
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,若动直线与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(i)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(ii)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)
;(ii)存在定点
.
【解析】
(I)结合椭圆的性质,计算a,b的值,即可。(II)(i)计算直线AF的斜率,得到BF的斜率,得到直线BF的方程,代入椭圆方程,得到B点坐标,计算AB直线的斜率,结合点斜式,计算方程,即可。(ii)设出直线AF的方程,代入椭圆方程,结合韦达定理,得到直线AB的斜率,设出直线AB的方程,令y=0,计算x的值,计算点坐标,即可。
解:(I)设椭圆的标准方程为:(
)
离心率为
,
,
,
点
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
,
,
,
解得,
,
椭圆
的方程为
.
(II)
(i)由题意,
,
,
,
直线
为:
,
代入,得
,解得
或
,
代入,得
,舍,或
,
.
,
直线
的方程为:
.
(ii)存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点.
证明:,
在于
轴的对称点
在直线
上,
设直线的方程为:
,
代入,得
,
由韦达定理得,
,
由直线的斜率
,得
的方程为:
令,得:
,
,
,
,
对于动直线
,存在一个定点
,无论
如何变化,直线
总经过此定点.
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