Question

5．设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=$\sqrt{10}$，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（1）求复数z；
（2）若$\overline z+\frac{m-i}{1+i}$为纯虚数（其中m∈R，$\overline z=a-bi$），求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由$|z|=\sqrt{10}$得：a²+b²=10．①，又复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上得a=-3b．②，由①②联立方程组解得a，b的值，则复数z可求．
（2）由$\overline z=a-bi$利用复数代数形式的乘除运算化简$\overline z+\frac{m-i}{1+i}$，再由纯虚数的条件得到实部等于零，虚部不等于零即可求出实数m的值．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R，a＞0），由$|z|=\sqrt{10}$得：a²+b²=10．①
又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b即a=-3b．②
由①②联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=10}\\{a=-3b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∵a＞0，∴a=3，b=-1．
∴z=3-i；                         
（2）由$\overline z=a-bi$，
可得$\overline z+\frac{m-i}{1+i}$=$3+i+\frac{m-i}{1+i}=3+i+\frac{（m-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$
=$3+i+\frac{（m-i）（1-i）}{2}=\frac{m+5}{2}+\frac{1-m}{2}i$，
∵$\overline z+\frac{m-i}{1+i}$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+5}{2}=0}\\{\frac{1-m}{2}≠0}\end{array}\right.$，
解得m=-5．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的运用，是基础题．