Question

14．如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：AE•BC=AC•BD；
（2）求BC•BE+AC•AD的值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明△AEC∽△BDC，即可证明AE•BC=AC•BD；
（2）证明BC•BE=BF•BA，AC•AD=AF•AB，即可求BC•BE+AC•AD的值．

解答 （1）证明：连接BD，则
∵∠AEC=∠ADB，∠ACE=∠BCD，
∴△AEC∽△BDC，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$，
∴AE•BC=AC•BD；
（2）解：由题意，∠AEC+∠AFC=180°，
∴A，F，C，E四点共圆，
∴BC•BE=BF•BA①，可得∠ADB=90°，
同理可得AC•AD=AF•AB②
联立①②，BC•BE+AC•AD=BF•BA+AF•AB=AB²=4．

点评 本题考查三角形相似的判断与性质，考查相交弦定理，属于中档题．