题目内容

9.过抛物线x2=8y的准线上一点P向该抛物线引两条切线,切点分别为A,B,直线AB与椭圆$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$相交于M,N两点.
(1)求证直线AB过定点.
(2)求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围.

分析 (1)设A(x1,$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$),B(x2,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$),由抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x,A点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x1(x-x1)+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$,B点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x2(x-x2)+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$,从而得到x1x2=-16;且可写出AB的直线方程,再令x=0求y即可得到定点.
(2)由题意知直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+2.代入椭圆方程,运用判别式大于0和韦达定理及向量的数量积的坐标表示,化简计算即可得到所求范围.

解答 (1)证明:设A(x1,$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$),B(x2,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$),
又由抛物线y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x,
A点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x1(x-x1)+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$,
B点处的切线为y=$\frac{1}{4}$x2(x-x2)+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$,
联立上面方程,求得
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$,
故两者交点为($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$),
而交点在抛物线x2=8y的准线y=-2,即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$=-2,
故x1x2=-16,
故AB的直线方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$(x-x1),
当x=0时,8y=(-x1)(x1+x2)+x12=-x1x2=16,即y=2,
故直线AB恒过定点(0,2),即此抛物线的焦点F.
(2)解:由题意知直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+2.
代入椭圆y2+2x2=8,
得(2+k2)x2+4kx-4=0.
△=16k2+16(2+k2)>0恒成立,
设点M(x3,y3),N(x4,y4),
x3+x4=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$,x3x4=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$,
y3y4=(kx3+2)(kx4+2)=k2x3x4+2k(x3+x4)+4=$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$,
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x3x4+y3y4=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$+$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$=$\frac{20}{2+{k}^{2}}$-8≤2,
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围是(-8,2].

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系,直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△>0及其根与系数的关系、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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