题目内容
18.已知平面内两个非零向量$\vec a,\vec b$互相垂直,若向量$\vec c$满足:|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2,则$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$的最大值是( )A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 3 |
分析 作图,使$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,并且△ABC是边长为2的等边三角形,从而可将$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$变成:$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2$.这时候设$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC}$的夹角为θ,从而有$|\overrightarrow{OA}|=2cos(\frac{2π}{3}-θ)$,由数量积的计算公式即可得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$=4cos($\frac{2π}{3}-θ$)cosθ=2sin(2θ$-\frac{π}{6}$)-1,从而可以得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$的最大值为1,这样便可得出$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$的最大值.
解答 解:作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,根据条件$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,且$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{BA}|=2$,如下图所示:
则:$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})•\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2•2•\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2$;
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为θ,$0<θ<\frac{2π}{3}$,则$∠BAO=\frac{2π}{3}-θ$;
∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{BA}|cos(\frac{2π}{3}-θ)=2cos(\frac{2π}{3}-θ)$;
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}=2cos(\frac{2π}{3}-θ)•2•cosθ$=$4(-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ)cosθ$
=$2(-\frac{1}{2}cos2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ-\frac{1}{2})$=2$sin(2θ-\frac{π}{6})-1$;
∵$0<θ<\frac{2π}{3}$;
∴$0<2θ<\frac{4π}{3}$;
∴$-\frac{π}{6}<2θ-\frac{π}{6}<\frac{7π}{6}$;
∴$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,即$θ=\frac{π}{3}$时,$sin(2θ-\frac{π}{6})$取最大值1;
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$取到最大值1,$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$取到最大值3;
即$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$的最大值为3.
故选:D.
点评 考查有向线段表示向量,数形结合解题的方法,以及向量加法的几何意义,向量垂直的充要条件,余弦函数的定义,数量积的计算公式,以及两角差的正余弦公式,二倍角的正、余弦公式.
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | $\sqrt{5}$ |
A. | ρsinθ=3$\sqrt{3}$ | B. | ρsinθ=-3$\sqrt{3}$ | C. | ρcosθ=-3 | D. | ρsinθ=3 |