Question

（本题满分14分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性；
（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求证：．

Answer 1

（1）①若，则，在上单调递增；  ②若，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增；③若，函数在区间上单调递减.  
（2）故不存在；（3）见解析.

第一问中，利用导数的思想，先求解定义域，然后令导数大于零，小于零，得到函数的单调区间。但是要对参数a分情况讨论得到
第二问中，假设存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直，利用曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
进行分析求解
第三问中，要证，先变形然后利用第二问的结论证明。
解（1）∵，，∴． ……1分
①若，则，在上单调递增；                  ……2分
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，            ……4分
③若，则，函数在区间上单调递减.   ……………………5分
（2）解：∵，，
， ……6分
由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                     ………………………8分
又，∴．                     ……9分
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．故不存在.       ………………………10分
（3）证明：
，由（2）知，令得.……14分