题目内容
【题目】设函数分别在
、
处取得极小值、极大值.
平面上点
、
的坐标分别为
、
,该平面上动点
满足
,点
是点
关于直线
的对称点.
(Ⅰ)求点、
的坐标;
(Ⅱ)求动点的轨迹方程.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)先对函数求导,得到,解对应方程
,判断函数单调性,从而可求出函数在
处取得极小值,在
取得极大值,进而可求出结果;
(Ⅱ)设,
,得到
,
的坐标,根据
,得到
,再由题意,得到
代入
,化简整理,即可得出结果.
(Ⅰ)因为,所以
,
令,解得
或
,
当时,
,
当时,
,
当时,
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,函数在处取得极小值,在
取得极大值,
故,
,又
,
;
点
,
;
(Ⅱ)设,
,则
,
,
,
,
①
又点
是点
关于直线
的对称点
代入①得:
,即为
的轨迹方程.
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