题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,数列
是首项为0,公差为
的等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,对任意的正整数
,将集合
中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为
,求证:数列
为等比数列;
(3)对(2)中的,求集合
的元素个数.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式,即可求得答案;
(2)由(1),求得
,根据
且
成等差数列,即可求得
,即可求证数列
为等比数列;
(3)要求集合中整数的个数,关键是求出与
的特征,
的特征与
的奇偶性有关,可运用二项式定理研究其性质,当
为奇数时,
,同样可得
,则集合的元素个数为
.同样求出
为偶数时的个数即可.
(1) 数列
的前
项和为
,数列
是首项为
,公差为
的等差数列
,
当时,
当时,
综上所述,,
.
(2)由(1)
则
且
成等差数列,
为常数,
为等比数列.
(3)①当为奇数时
同理可得,
则集合的元素个数为
②当为偶数时,同理可得
的元素个数为
综上所述,集合的元素个数:
.
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