题目内容
【题目】已知函数在区间
上的最大值为4,最小值为1,记为
.
(1)求实数,
的值;
(2)若不等式成立,求实数
的取值范围;
(3)对于任意满足的自变量
,
,
,…,
,如果存在一个常数
,使得定义在区间
上的一个函数
,
恒成立,则称函数
为区间
上的有界变差函数,试判断函数
是否是区间
上的有界变差函数,若是,求出
的最小值;若不是,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
,
,
;(3)函数
为区间
,
上的有界变差函数.
的最小值为4.
【解析】
(1)由的对称轴
得
在区间
,
上是增函数,得方程组求出
,
即可;(2)由(1)求出
的表达式,解不等式求出即可;(3)由
的表达式得
为
,
上的单调递增函数,根据有界变差函数的概念求出即可.
(1),
又,
在区间
,
上是增函数,
故,
解得,
.
(2)由(1)得:,
故是偶函数,
不等式
(2)可化为
,
解得,
,
.
(3),
为
,
上的单调递增函数,
则对于任意满足,
的自变量
,
,
,
,
,
有(1)
(3),
(3)
(1)
,
存在常数
,使得
.
所以函数为区间
,
上的有界变差函数.即
的最小值为4.

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