题目内容
【题目】在一个给定的正
边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为______．
【答案】
【解析】
从
边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有
,每种取法等可能出现,属于古典概率,正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部,若第一个点取的就是点
,对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1,第二个点取的是点2…第二个点取的是m,第二个点取的是点n,再考虑第三个点的所有取法,利用古典概率的公式可求．
解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点,顺时针方向的下一个点为点1,则以时钟12点和6点连线为轴,左右两边各有n个点．
多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：
假设第一个点取的就是点,则剩下的两点必然在轴线的一左一右．
对于第二个点取的是点1,
对于第二个点取的是点2,第三个点能取点
、点
,有2种
…
对于第二个点取的是点m,第三个点能取点、点…点
,有m种
…
对于第二个点取的是点n,第三个点能取点,点…点2n,有n种
一共
种
如果第二个点取的是点到点2n,可视为上述情况中的第三个点．
所以
一共可构成三角形个数
故答案为：
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