题目内容
【题目】如图,三棱锥中,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为
且
时,求
的中线
与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析,(2)
【解析】
(1) 取中点
,连
,
,证明
平面
即可.
(2) 由(1)在平面内作
,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可.
(1)证明:取中点
,连
,
,∵
,
,
∴,
,
平面
,且
,
∴平面
,又
平面
,∴
.
(2)由(1)知是二面角
的平面角,
∴,又由
平面
知平面
平面
,
所以在平面内作
,则
面
,可建如图坐标系,
又易得,故在
中由余弦定理可得
,
于是可得各点坐标为,
,
,
,
∴,∴
,
又平面的一个法向量为
,
所以直线与面
所成角的正弦值
.
法二:由(1)知是二面角
的平面角,∴
.
作于
,则由
平面
知
平面
,且
,
又易得,故在
中由余弦定理可得
,∴
.
又为
中点,所以
到平面
的距离
.
因为,
,
,∴
,
∴.
所以直线与面
所成角的正弦值
.
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