题目内容
【题目】已知函数是
上的偶函数,对于
都有
成立,且
,当
,
,且
时,都有
.则给出下列命题:①
;②
为函数
图象的一条对称轴;③函数
在
上为减函数;④方程
在
上有4个根;其中正确的命题个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
由可得
,结合偶函数的性质可得
,从而推出
,可得函数
是以6为周期的周期函数,从而可判断①②,又根据当
,
,且
时,都有
可得函数在
上单调递增,结合函数值以及对称性可判断③④.
解:对于①,令,由
得
,
又函数是
上的偶函数,
∴,
∴,
即函数是以6为周期的周期函数,
∴;
又,所以
,从而
,即①正确;
对于②,函数关于y轴对称,周期为6,
∴函数图象的一条对称轴为
,故②正确;
对于③,当,
,且
时,都有
,设
,
则,故函数
在
上是增函数,
根据对称性,易知函数在
上是减函数,
根据周期性,函数在
上为减函数,故③正确;
对于④,因为,又由其单调性及周期性可知
在,有且仅有
,
即方程在
上有4个根,故④正确;
故选:D.
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