Question

【题目】如图，在正三棱柱中，AB=3，=4，M为的中点，P是BC边上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱到M点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长.

（2）PC和NC的长

（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）PC=2，NC= （3）

【解析】

（1）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．
（2）在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度，再由相似比可以求得CN的长度．
（3）补形，找出两面的交线，由三垂线定理作出二面角的平面角，二面角易求．

解：(1)正三棱柱的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形

故其对角线长为；

(2)如图,将侧面绕棱旋转120使其与侧面在同一平面上,点P运动到点的位置,连接,则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线

设，则，在中，由勾股定理得x=2,

，

，

；

(3)如图,连接，则就是平面NMP与平面ABC的交线,作NH⊥于H,又⊥平面ABC,连接CH,由三垂线定理得,CH⊥，

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)，

在中, ，

，

在中, ，

故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为，