题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
, O为DE的中点,
.F为
的中点,平面
平面BCED.
(1)求证:平面 平面
.
(2)线段OC上是否存在点G,使得平面EFG?说明理由。
【答案】(1)证明见解析 (2)不存在,理由见解析
【解析】
(1)题中已知垂直等关系易得平面
,因此关键是证明
,则可得线面垂直,从而有面面垂直,而
可在等腰梯形
中通过计算由勾股定理逆定理得证;
(2)假设存在点满足题意,则可证得
,
是
中点,从而有
,这与已知矛盾,从而得假设错误,点不存在.
解:(1)因为.所以
,又O为DE的中点,
所以.
因为平面平面BCED,且
平面
,
所以平面BCED.所以
.
由于四边形BCED是一个上底为2.下底为4,腰长为 的等腰梯形,易求得
.
在 中,
,所以
,
所以平面
.所以平面
平面
.
(2)线段OC上不存在点G,使得平面FFG.
理由如下:
假设线段OC上存在点G,使得平面EFG,
连接GE,GF.则必有.且
.
在 中,由F为
的中点,
,得G为OC的中点.
在中,因为
.所以
.这显然与
,
矛盾.
所以线段OC上不存在点G,使得平面EFG.
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