题目内容
【题目】如图，在多面体
中，四边形
为正方形，
，
，
.
（1）证明：平面
平面
.
（2）若
平面
，二面角
为
，三棱锥
的外接球的球心为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
证明
平面
即可证明平面
平面
（2）由题确定二面角
的平面角为
，进而推出
为线段
的中点，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
由空间向量的线面角公式求解即可
（1）证明：因为四边形
为正方形，
所以
，
又
，
，
所以平面.
因为
平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又
，则
平面，从而
，
又
，所以二面角的平面角为
.
以为坐标原点建立空间直角坐标系
，如图所示，
则
，
，
.
因为三棱锥
的外接球的球心为，所以为线段的中点，
则的坐标为
，
.
设平面
的法向量为
，则
，
即
令
，得
.
易知平面
的一个法向量为
，
则
.
由图可知，二面角
为锐角，
故二面角的余弦值为.
【题目】当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数 |
|
|
|
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得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；；
（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数
服从正态分布
，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差
（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望.
附：若随机变量服从正态分布，则
，
，
.
【题目】某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为研究车辆发车间隔时间
（分钟）与乘客等候人数
（人）之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间 |
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等候人数 |
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调查小组先从这
组数据中选取
组数据求线性回归方程，再用剩下的
组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过
，则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”．
（1）从这组数据中随机选取
组数据后，求剩下的组数据的间隔时间之差大于的概率；
（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程
，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；
（3）在（2）的条件下，为了使等候的乘客不超过
人，则间隔时间最多可以设置为多少分钟？（精确到整数）
参考公式：
，
．
