Question

10．如图，已知定点A（1，0），点B是定直线l：x=-1上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若E（-2，0），F（2，0），G（-1，$\frac{1}{2}$），（1）中轨迹上是否存在一点Q，直线EQ，FQ与y轴交点分别为M，N，使得∠MGN是直角？如果存在，求点Q坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设B（-1，b），求得直线OA和OB的方程，设C（x，y），则0≤x＜1，C到直线OA和OB的距离相等．运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到轨迹方程；
（2）设点Q（x₀，y₀），求得直线EQ，FQ的方程，令x=0，求得M，N的坐标，假设∠MGN是直角，由垂直的条件：斜率之积为-1，推理判断可得．

解答 解：（1）设B（-1，b），直线OA和OB的方程分别为
y=0与y=-bx，直线AB的方程为：y=-$\frac{b}{2}$（x-1）．
设C（x，y），则0≤x＜1，C到直线OA和OB的距离相等．
∴$\frac{|y+bx|}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$=|y|，①
又C在直线AB上，所以：y=-$\frac{b}{2}$（x-1），即b=$\frac{2y}{1-x}$，代入①得：
y²[1+$\frac{4{y}^{2}}{（x-1）^{2}}$]=（y+$\frac{2xy}{1-x}$）²，整理得：y²（y²-x）=0，
若y≠0，则y²=x（0＜x＜1）；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C为（0，0），满足上式，
综上，点C的轨迹方程为：y²=x（0≤x＜1）；
（2）设点Q（x₀，y₀），则直线EQ，FQ的方程分别为：
y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），
令x=0得y=$\frac{2{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$，y=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，∴M（0，$\frac{2{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$），N（0，$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），
∴直线MG，NG的斜率分别为：k₁=$\frac{2{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$，k₂=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{2}$，
若∠MGN是直角，则k₁k₂=（$\frac{2{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$）（$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{2}$）=-1，
整理得-4y₀²+4y₀=5-$\frac{5}{4}$x₀²②，
∵y₀²=x₀（0≤x₀＜1），∴-1＜y₀＜1，
∴-4y₀²+4y₀=-（2y₀-1）2+1≤1，5-$\frac{5}{4}$x₀²＞5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$＞1，
∴②式无解，从而∠MGN不可能是直角，
（1）中轨迹上不存在点Q满足题设．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的方程的运用，直线方程和直线的斜率的运用，考查推理和运算求解能力，属于中档题．