题目内容

18.在平面直角坐标系xOy中,直线l:mx-y+1=m,圆C:(x+1)2+(y-2)2=6.
(1)求证:对于任意m∈R,直线l与圆C恒有两个交点;
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时,求直线l的方程.

分析 (1)直线l:mx-y+1=m,即为m(x-1)=y-1,可得定点M(1,1),代入圆的方程,可得M在圆内,即可得证;
(2)当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短,此时CM⊥l,求得直线CM的斜率,由垂直的条件,可得直线l的斜率,即m的值,进而得到直线l的方程.

解答 解:(1)证明:直线l:mx-y+1=m,即为m(x-1)=y-1,
令x=1,则y=1.
故直线l恒过点M(1,1),
又(1+1)2+(1-2)2=5<6,
即有点M(1,1)在圆C内,
∴直线l与圆C恒有两个交点;                                
(2)当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短,
此时CM⊥l,
圆C:(x+1)2+(y-2)2=6的圆心为C(-1,2),
由直线CM的斜率为$\frac{2-1}{-1-1}$=-$\frac{1}{2}$,
即有直线l的斜率${k_l}=-\frac{1}{{{k_{CM}}}}=-\frac{1+1}{1-2}=2$,即m=2,
则直线l的方程为2x-y-1=0.

点评 本题考查直线和圆的位置关系:相交,同时考查直线恒过定点的求法,以及弦长的最值的情况,属于中档题.

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